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4-2,张量的数学运算

张量的操作主要包括张量的结构操作和张量的数学运算。

张量结构操作诸如：张量创建，索引切片，维度变换，合并分割。

张量数学运算主要有：标量运算，向量运算，矩阵运算。另外我们会介绍张量运算的广播机制。

本篇我们介绍张量的数学运算。

本篇文章部分内容参考如下博客：https://blog.csdn.net/duan_zhihua/article/details/82526505

一，标量运算

张量的数学运算符可以分为标量运算符、向量运算符、以及矩阵运算符。

加减乘除乘方，以及三角函数，指数，对数等常见函数，逻辑比较运算符等都是标量运算符。

标量运算符的特点是对张量实施逐元素运算。

有些标量运算符对常用的数学运算符进行了重载。并且支持类似numpy的广播特性。

import torch 
import numpy as np 

a = torch.tensor([[1.0,2],[-3,4.0]])
b = torch.tensor([[5.0,6],[7.0,8.0]])
a+b  #运算符重载

tensor([[ 6.,  8.],
        [ 4., 12.]])

a-b 

tensor([[ -4.,  -4.],
        [-10.,  -4.]])

a*b 

tensor([[  5.,  12.],
        [-21.,  32.]])

a/b

tensor([[ 0.2000,  0.3333],
        [-0.4286,  0.5000]])

a**2

tensor([[ 1.,  4.],
        [ 9., 16.]])

a**(0.5)

tensor([[1.0000, 1.4142],
        [   nan, 2.0000]])

a%3 #求模

tensor([[1., 2.],
        [0., 1.]])

a//3  #地板除法

tensor([[ 0.,  0.],
        [-1.,  1.]])

a>=2 # torch.ge(a,2)  #ge: greater_equal缩写

tensor([[False,  True],
        [False,  True]])

(a>=2)&(a<=3)

tensor([[False,  True],
        [False, False]])

(a>=2)|(a<=3)

tensor([[True, True],
        [True, True]])

a==5 #torch.eq(a,5)

tensor([[False, False],
        [False, False]])

torch.sqrt(a)

tensor([[1.0000, 1.4142],
        [   nan, 2.0000]])

a = torch.tensor([1.0,8.0])
b = torch.tensor([5.0,6.0])
c = torch.tensor([6.0,7.0])

d = a+b+c
print(d)

tensor([12., 21.])

print(torch.max(a,b))

tensor([5., 8.])

print(torch.min(a,b))

tensor([1., 6.])

x = torch.tensor([2.6,-2.7])

print(torch.round(x)) #保留整数部分，四舍五入
print(torch.floor(x)) #保留整数部分，向下归整
print(torch.ceil(x))  #保留整数部分，向上归整
print(torch.trunc(x)) #保留整数部分，向0归整

tensor([ 3., -3.])
tensor([ 2., -3.])
tensor([ 3., -2.])
tensor([ 2., -2.])

x = torch.tensor([2.6,-2.7])
print(torch.fmod(x,2)) #作除法取余数 
print(torch.remainder(x,2)) #作除法取剩余的部分，结果恒正

tensor([ 0.6000, -0.7000])
tensor([0.6000, 1.3000])

# 幅值裁剪
x = torch.tensor([0.9,-0.8,100.0,-20.0,0.7])
y = torch.clamp(x,min=-1,max = 1)
z = torch.clamp(x,max = 1)
print(y)
print(z)

tensor([ 0.9000, -0.8000,  1.0000, -1.0000,  0.7000])
tensor([  0.9000,  -0.8000,   1.0000, -20.0000,   0.7000])

二，向量运算

向量运算符只在一个特定轴上运算，将一个向量映射到一个标量或者另外一个向量。

#统计值

a = torch.arange(1,10).float()
print(torch.sum(a))
print(torch.mean(a))
print(torch.max(a))
print(torch.min(a))
print(torch.prod(a)) #累乘
print(torch.std(a))  #标准差
print(torch.var(a))  #方差
print(torch.median(a)) #中位数

tensor(45.)
tensor(5.)
tensor(9.)
tensor(1.)
tensor(362880.)
tensor(2.7386)
tensor(7.5000)
tensor(5.)

#指定维度计算统计值

b = a.view(3,3)
print(b)
print(torch.max(b,dim = 0))
print(torch.max(b,dim = 1))

tensor([[1., 2., 3.],
        [4., 5., 6.],
        [7., 8., 9.]])
torch.return_types.max(
values=tensor([7., 8., 9.]),
indices=tensor([2, 2, 2]))
torch.return_types.max(
values=tensor([3., 6., 9.]),
indices=tensor([2, 2, 2]))

#cum扫描
a = torch.arange(1,10)

print(torch.cumsum(a,0))
print(torch.cumprod(a,0))
print(torch.cummax(a,0).values)
print(torch.cummax(a,0).indices)
print(torch.cummin(a,0))

tensor([ 1,  3,  6, 10, 15, 21, 28, 36, 45])
tensor([     1,      2,      6,     24,    120,    720,   5040,  40320, 362880])
tensor([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
tensor([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])
torch.return_types.cummin(
values=tensor([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]),
indices=tensor([0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]))

#torch.sort和torch.topk可以对张量排序
a = torch.tensor([[9,7,8],[1,3,2],[5,6,4]]).float()
print(torch.topk(a,2,dim = 0),"\n")
print(torch.topk(a,2,dim = 1),"\n")
print(torch.sort(a,dim = 1),"\n")

#利用torch.topk可以在Pytorch中实现KNN算法

torch.return_types.topk(
values=tensor([[9., 7., 8.],
        [5., 6., 4.]]),
indices=tensor([[0, 0, 0],
        [2, 2, 2]]))

torch.return_types.topk(
values=tensor([[9., 8.],
        [3., 2.],
        [6., 5.]]),
indices=tensor([[0, 2],
        [1, 2],
        [1, 0]]))

torch.return_types.sort(
values=tensor([[7., 8., 9.],
        [1., 2., 3.],
        [4., 5., 6.]]),
indices=tensor([[1, 2, 0],
        [0, 2, 1],
        [2, 0, 1]]))

三，矩阵运算

矩阵必须是二维的。类似torch.tensor([1,2,3])这样的不是矩阵。

矩阵运算包括：矩阵乘法，矩阵转置，矩阵逆，矩阵求迹，矩阵范数，矩阵行列式，矩阵求特征值，矩阵分解等运算。

#矩阵乘法
a = torch.tensor([[1,2],[3,4]])
b = torch.tensor([[2,0],[0,2]])
print(a@b)  #等价于torch.matmul(a,b) 或 torch.mm(a,b)

tensor([[2, 4],
        [6, 8]])

#矩阵转置
a = torch.tensor([[1.0,2],[3,4]])
print(a.t())

tensor([[1., 3.],
        [2., 4.]])

#矩阵逆，必须为浮点类型
a = torch.tensor([[1.0,2],[3,4]])
print(torch.inverse(a))

tensor([[-2.0000,  1.0000],
        [ 1.5000, -0.5000]])

#矩阵求trace
a = torch.tensor([[1.0,2],[3,4]])
print(torch.trace(a))

tensor(5.)

#矩阵求范数
a = torch.tensor([[1.0,2],[3,4]])
print(torch.norm(a))

tensor(5.4772)

#矩阵行列式
a = torch.tensor([[1.0,2],[3,4]])
print(torch.det(a))

tensor(-2.0000)

#矩阵特征值和特征向量
a = torch.tensor([[1.0,2],[-5,4]],dtype = torch.float)
print(torch.eig(a,eigenvectors=True))

#两个特征值分别是 -2.5+2.7839j, 2.5-2.7839j 

torch.return_types.eig(
eigenvalues=tensor([[ 2.5000,  2.7839],
        [ 2.5000, -2.7839]]),
eigenvectors=tensor([[ 0.2535, -0.4706],
        [ 0.8452,  0.0000]]))

#矩阵QR分解, 将一个方阵分解为一个正交矩阵q和上三角矩阵r
#QR分解实际上是对矩阵a实施Schmidt正交化得到q

a  = torch.tensor([[1.0,2.0],[3.0,4.0]])
q,r = torch.qr(a)
print(q,"\n")
print(r,"\n")
print(q@r)

#矩阵svd分解
#svd分解可以将任意一个矩阵分解为一个正交矩阵u,一个对角阵s和一个正交矩阵v.t()的乘积
#svd常用于矩阵压缩和降维
a=torch.tensor([[1.0,2.0],[3.0,4.0],[5.0,6.0]])

u,s,v = torch.svd(a)

print(u,"\n")
print(s,"\n")
print(v,"\n")

print(u@torch.diag(s)@v.t())

#利用svd分解可以在Pytorch中实现主成分分析降维

tensor([[-0.2298,  0.8835],
        [-0.5247,  0.2408],
        [-0.8196, -0.4019]]) 

tensor([9.5255, 0.5143]) 

tensor([[-0.6196, -0.7849],
        [-0.7849,  0.6196]]) 

tensor([[1.0000, 2.0000],
        [3.0000, 4.0000],
        [5.0000, 6.0000]])

四，广播机制

Pytorch的广播规则和numpy是一样的:

• 1、如果张量的维度不同，将维度较小的张量进行扩展，直到两个张量的维度都一样。
• 2、如果两个张量在某个维度上的长度是相同的，或者其中一个张量在该维度上的长度为1，那么我们就说这两个张量在该维度上是相容的。
• 3、如果两个张量在所有维度上都是相容的，它们就能使用广播。
• 4、广播之后，每个维度的长度将取两个张量在该维度长度的较大值。
• 5、在任何一个维度上，如果一个张量的长度为1，另一个张量长度大于1，那么在该维度上，就好像是对第一个张量进行了复制。

torch.broadcast_tensors可以将多个张量根据广播规则转换成相同的维度。

a = torch.tensor([1,2,3])
b = torch.tensor([[0,0,0],[1,1,1],[2,2,2]])
print(b + a) 

tensor([[1, 2, 3],
        [2, 3, 4],
        [3, 4, 5]])

a_broad,b_broad = torch.broadcast_tensors(a,b)
print(a_broad,"\n")
print(b_broad,"\n")
print(a_broad + b_broad) 

tensor([[1, 2, 3],
        [1, 2, 3],
        [1, 2, 3]]) 

tensor([[0, 0, 0],
        [1, 1, 1],
        [2, 2, 2]]) 

tensor([[1, 2, 3],
        [2, 3, 4],
        [3, 4, 5]])

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